Tazze, ciambelle e topologia

Quanto era bello alle elementari mentre si giocava con paroline magiche come insiemi dicendo che un insieme, per esempio, beh… è un insieme! Come altro lo si poteva definire, prendi un insieme di cose con almeno una caratteristica in un comune ed ecco fatto, hai un insieme. Poi questa parolina magica l’hai incontrata nuovamente al liceo con un po’ più di dettagli e cose strane: dillo, a questo giro non ci hai capito molto eh?

Il trend dei matematici è quello di costruire strutture via via più generali, complesse, astratte. Perché? Potrebbero esserci migliaia di motivi, quello più accreditato probabilmente è che i matematici sono essenzialmente masochisti, ma per sembrare più seri diremo che il modo principale tramite cui la matematica procede nei suoi ragionamenti è la deduzione: da una caso generale si deduce un caso più specifico.

Questa potente proprietà di ragionamento ha la sua continuazione anche in fisica; se in matematica usiamo, ad esempio, spazi molto astratti chiamati varietà differenziabili, in fisica l’universo stesso dove viviamo è un caso specifico di queste varietà.

Quindi tipi di queste strutture più generali sono sempre spazi, cioè insiemi di oggetti (quasi mai numeri) arricchiti con tante operazioni e relazioni. Tra gli spazi più interessanti, e anche fondamentali, ci sono quelli topologici, che al di là di formalizzazioni e definizioni, sono un modo intelligente per studiare le forme di oggetti.

Per esempio la tipica ciambella con il buco al centro è uno spazio topologico ricorrente nella matematica chiamato toro. Viene facile da pensare che la branca della matematica che studia questi spazi si chiama topologia.

Ora dirai, ma non c’era già la geometria a studiare le forme degli oggetti? Tralasciando il fatto che tutto è abbastanza interconnesso in matematica, alcune branche possono studiare stesse cose ma da punti di vista diversi, o usando strumenti diversi; uno strumento molto potente della topologia è l’omeomorfismo.

Come la ciambella, in realtà quasi tutte le forme che vediamo in natura potrebbero essere modellizzate topologicamente a discapito di proprietà particolari che riguardano gli spazi topologici… sì, anche una tazza, e non finisce qui! Tazze e ciambelle, proprio matematicamente, hanno qualcosa in comune.

So che ti starò chiedendo uno sforzo sovraumano, ma prova a pensare ai poliedri fatti in terza media: tra tutte le formule di calcolo del volume e dell’area ce n’era una chiamata caratteristica di Eulero:

Il numero dei vertici meno il numero degli spigoli più il numero delle facce nei poliedri “senza buchi” dà sempre 2 come risultato.

Il fatto che il risultato rimanga invariato, nella famiglia dei poliedri “senza buchi” costituisce quello che si chiama invariante topologico. Laddove c’è un invariante allora puoi scommettere di trovarci anche un omeomorfismo. Questo nome strano indica una trasformazione che puoi fare da una figura all’altra… eh sì, anche questa trasformazione deve essere senza buchi.

E che vor di’? Immagina che le tue figure, per esempio i poliedri, siano fatti di plastilina (possiamo farci un format matematica all’asilo eh?) e tu li plasmi trasformandoli, e nel farlo non strappi pezzi di plastilina. E per giunta puoi fare la stessa operazione al contrario. Ecco un omeomorfismo.

Nel risultato finale vedrai qualcosa di diverso da ciò che avevi inizialmente, eppure qualche caratteristica rimane invariata. La stessissima cosa accade tra tazza e ciambella; a rimanere invariate sono caratteristiche un po’ più complicate da spiegare, ma il concetto è quello.

Se la trasformazione avviene tra spazi topologici parliamo appunto di omeomorfismo, ormai è chiaro no? Ma tra altri tipi di spazi si può parlare in generale di isomorfismo; intendiamolo pure come sinonimo di omeomorfismo, anche se proprio così non è. Un grande della divulgazione scientifica, Douglas Hofstadter, scrive

Si parla di isomorfismo quando due strutture complesse si possono applicare l’una sull’altra, cioè far corrispondere l’una all’altra, in modo tale che per ogni parte di una delle strutture ci sia una parte corrispondente nell’altra struttura; in questo contesto diciamo che due parti sono corrispondenti se hanno un ruolo simile nelle rispettive strutture.

Mi piace sempre dire che quando tento di fare un po’ di divulgazione la mia intenzione è applicare un isomorfismo tra concetti, quello originale e quello semplificato: anche in questo articolo ne sto semplificando di cose, ma l’importante è mantenere l’essenza e l’unicità dell’argomento, lasciarla invariata.

Leggi di conservazione nella fisica: questo farà parte di ricordi più recenti giusto? Anche se stentavi sempre a capirle, nei problemi ti salvavano sempre, perché assumendo l’energia totale o la quantità di moto conservate da stato iniziale a stato finale i calcoli si semplificavano che era una meraviglia.

Ora ci poniamo una domanda esistenziale, perché oltre a dei fisici siamo pure filosofi. Cosa ci permette di dire che energia, quantità di moto o momento angolare si conservano?

Fino a poco fa abbiamo usato la parole invariati e invarianti; bene, in fisica la parola chiave diventa conservati, eppure il concetto rimane lo stesso. Sotto una determinata trasformazione c’è sempre qualcosa che rimane invariato (o che appunto si conserva, detto fisicamente). Ecco l’enunciato di un teorema di massima importanza in fisica, il teorema di Noether.

Prendi un sistema fisico (che può essere una molla, una palla, un aereo, collino), traslalo nel tempo: se questo rimane invariato, ovvero è indifferente studiarlo con certe coordinate temporali piuttosto che altre, allora l’energia si conserva. Per la traslazione spaziale invece si conserverà la quantità di moto e per sistemi che rimangono invariati rispetto a rotazioni si conserverà il momento angolare.

Sapere che le cose si conservano è molto importante, perché ci permette di avere equazioni uguali per tutti i tipi di sistemi, per Collino fermo e per Collino in movimento. Immagina avere fisiche diverse per ciascuna situazione, già non impari quelle formule che abbiamo, figurati se centuplicate. Un altro motivo per cui è importante assumere la conservazione di quantità riguarda l’essenza intima delle cose.

Le trasformazioni di cui abbiamo parlato nel paragrafo precedente, relativamente al teorema di Noether, non per forza riguardano omeomorfismi, ma tante altre cose con nomi molto più strani… diffeomorfismi o trasformazioni conformi per esempio. 

Un altro esempio di trasformazione caruccia caruccia è quella di gauge. La prima volta che mi sono imbattuto in questo nome pensavo fosse un signore simpatico dal nome buffo, invece è un termine inglese che vuol dire qualcosa come scala di misura. Le trasformazioni di gauge sono infatti trasformazioni locali, che avvengono cioè senza intaccare la globalità del sistema. Quindi trasformano piccoli intorni di coordinate del sistema lasciando invariato qualcosa. La prima teoria di gauge della storia è stata l‘elettrodinamica classica, quella delle equazioni di Maxwell per intenderci.

Le trasformazioni qui implicano l’invarianza della carica elettrica stessa! Una cosa che al liceo per esempio hai dato per assunto un milione di volte, quando bilanciavi delle redox, la carica deve rimanere bilanciata da un membro all’altro della reazione. Ecco da dove deriva… da tazze che si trasformano in ciambelle.

Nella realtà sapere che la carica elettrica si conserva non ti farà cambiare il tuo modo di fare colazione, le ciambelle rimarranno ciambelle e le tazze tazze. Però ancora una volta la matematica e la fisica ci danno una lezione di vita: l’immaginazione e la fantasia sono fondamentali. Proprio le scienze che studiano la realtà partono da assunti tutt’altro che realistici, per poi dedurre i più piccoli dettagli di ciò che ci circonda!